压缩感知（Compressed Sensing, CS）

核心思想

如果一个信号在某个变换域中是稀疏的，那么即使采样点数远小于奈奎斯特采样定理要求的数量，也能通过优化方法恢复出完整信号。

本质

一种信号获取与恢复理论，目标是在“远低于奈奎斯特采样率”的情况下，仍能准确重建信号。

具体解释

传统的信号采样要遵循 奈奎斯特采样定理：采样率至少要是信号最高频率的两倍，才能无损恢复信号。

而压缩感知打破了这个限制：

  • 假设信号 x∈Rnx \in \mathbb{R}^n 在某个基（如小波基、傅里叶基）下是稀疏的，即只有 k≪nk \ll n 个非零系数。
  • 我们只测量 m≪nm \ll n 个线性观测值：

    y=Axy = A x

    其中 AA 是测量矩阵。
  • 通过 稀疏优化 方法，就可以从 yy 中恢复 xx。

常见优化形式

min⁡x∥x∥1s.t.Ax=y\min_x \|x\|_1 \quad \text{s.t.} \quad A x = y

这是一个典型的 L1 最小化问题。

应用

  • 医学成像加速扫描
  • 无线通信信号恢复
  • 雷达成像

稀疏优化（Sparse Optimization, SO）

核心思想

在优化过程中利用或强制变量具有“稀疏结构”，即大多数元素为 0，只有少量为非零。

本质

一种数学优化方法，目标是在约束或目标函数中体现“稀疏性”原则，让解具有稀疏结构。

换句话说：
稀疏优化 是实现 压缩感知思想 的数学工具。

数学定义

稀疏优化问题常写作：

min⁡xf(x)+λ∥x∥1\min_x f(x) + \lambda \|x\|_1

或

min⁡x∥Ax−y∥22+λ∥x∥1\min_x \|A x - y\|_2^2 + \lambda \|x\|_1

这里的 ∥x∥1\|x\|_1 是稀疏约束的“凸近似”（因为直接约束非零元素个数 ∥x∥0\|x\|_0 是 NP-hard 的）。

应用

  • 低秩矩阵分解、字典学习
  • 压缩感知信号恢复
  • 稀疏编码

两者关系：思想 vs 工具

概念 范畴 主要目的 二者关系
压缩感知 (CS) 信号采样与重建理论 在少量采样下重建稀疏信号 是“应用场景”
稀疏优化 (SO) 优化方法与数学工具 求稀疏解 是“求解方法”

🔹 类比理解：

  • 压缩感知：是“为什么”——为什么能少采样还原信号。
  • 稀疏优化：是“怎么做”——用什么算法把信号还原出来。

两者目的

角度 压缩感知（CS） 稀疏优化（SO）
目标 少采样、高效率获取信号 求解稀疏结构的最优解
关键假设 信号稀疏 模型带有稀疏先验
输出 高保真重建信号 稀疏解、特征选择或稀疏表示
应用 MRI成像、雷达、通信、压缩视频 LASSO回归、稀疏编码、特征选择、CS重建

一句话总结

压缩感知是“稀疏信号少测量高还原”的理论；稀疏优化是“实现这种稀疏恢复”的数学方法。

简而言之：

CS = 思想 / 目标，SO = 工具 / 方法。

超分辨（Super-Resolution, SR）

核心思想

从低分辨率图像（或视频帧）重建出高分辨率的图像，使其包含更多细节。

本质

“超分辨”就是突破系统原本分辨率极限，恢复或估计出更精细的信息。

也就是说：
不管是图像、视频、雷达信号，超分辨的核心目标都是“提升分辨率”，只是分辨率的含义随领域而变。

分类

  1. 基于插值的方法：如双三次插值（bicubic），简单但效果有限。

  2. 基于稀疏表示的方法（Sparse Representation SR）：

    • 低分辨率（LR）图像块和高分辨率（HR）图像块共享同一稀疏系数。
    • 利用稀疏优化求得稀疏表示，从而恢复高分辨率图像。

  3. 基于深度学习的方法：SRCNN、EDSR、SwinIR 等。

数学模型（稀疏表示方法）

min⁡α∥y−Dlα∥22+λ∥α∥1\min_\alpha \| y - D_l \alpha \|_2^2 + \lambda \|\alpha\|_1

再用相同的系数 α\alpha 和高分辨率字典 DhD_h 重建：

xHR=Dhαx_{HR} = D_h \alpha

应用

  • 卫星/航空图像增强
  • 医学影像细节恢复
  • 安防视频放大识别

三者关系图示

概念 关注问题 典型应用 关联
压缩感知 如何在少量采样下重建信号 MRI, 雷达, 通信 依赖稀疏优化
稀疏优化 如何求解稀疏结构的最优解 特征选择, 稀疏编码 是 CS 与 SR 的数学工具
超分辨 如何从低分辨数据生成高分辨图像 图像增强, 医学成像 可用稀疏优化方法实现

提升分辨率 = 扩大尺寸？

图像领域的超分辨（Image Super-Resolution）

目的

从低分辨率图像生成高分辨率图像，使其看起来更清晰、更细致。

通俗理解

比如一张模糊的 240p 动画图，通过算法生成一张 1080p 或 4K 的清晰图。

实现方式

  • 输入：小图（Low-Resolution, LR）
  • 输出：大图（High-Resolution, HR）
  • 算法：CNN、Transformer 或稀疏编码

    IHR=fθ(ILR)I_{HR} = f_\theta(I_{LR})

应用举例

  • AnimeNet、Waifu2x、Real-ESRGAN：用于动漫、游戏截图、老照片放大
  • 摄影图像增强、监控视频清晰化

图像超分辨的“分辨率”是：

空间分辨率（spatial resolution）
即图像每个方向上的像素密度、细节清晰度。

雷达领域的超分辨（Radar Super-Resolution）

雷达的“超分辨”虽然名字相同，但目的完全不同：

目的

提升雷达系统对目标的分辨能力（角度分辨率、距离分辨率、速度分辨率等），即在物理上无法直接分开的目标信号中分辨出多个目标。

举例

普通雷达可能只能看到“一个目标回波峰”，但实际上那里面有两个相邻目标。
通过超分辨算法（如 MUSIC、ESPRIT、Capon），我们可以数学上分离出两个目标的角度或距离。

形式

  • 输入：雷达天线阵列接收到的信号
  • 输出：更精确的目标角度/距离谱
  • 关键思想：信号稀疏性 + 空间谱估计 + 稀疏优化

    y=Ax+n,x 稀疏，表示目标分布y = A x + n,\quad x \text{ 稀疏，表示目标分布}

    用稀疏优化或高分辨谱估计算法重建 xx。

雷达超分辨的“分辨率”是：

参数分辨率（parameter resolution）
包括：角度分辨率、距离分辨率、速度分辨率等。
不是图像意义上的“像素大小”。

对比总结

领域 输入 输出 提升的“分辨率”类型 是否从小图到大图？ 典型算法
图像/视频 小图（LR） 大图（HR） 空间分辨率（像素密度） ✅ 是 SRCNN, EDSR, AnimeNet, Waifu2x
雷达 采样信号、阵列信号 目标参数谱（角度/距离） 参数分辨率（信号分离能力） ❌ 否 MUSIC, ESPRIT, OMP, CS-based DOA

为什么动漫超分辨是“小图到大图”？

因为动漫视频或图片往往：

  • 分辨率低（如 480p）；
  • 动画边缘线条明显、纹理规律性强；
  • 可以用神经网络学习“从低分辨率线条到高清线条”的映射。

例如 AnimeNet / Waifu2x：

IHR=NeuralNetwork(ILR)I_{HR} = \text{NeuralNetwork}(I_{LR})

直接输出更高像素、更锐利的图像，是典型的“图像超分辨”。

图像超分辨是“让图片更清晰”（空间放大），而雷达超分辨是“让目标更可分辨”（信号区分）。
二者名字相同，但目的、对象、物理意义完全不同。

雷达也有成像，为什么不能扩大？

当雷达最终也“成像”时，超分辨到底起什么作用？是不是也相当于图像放大？

雷达成像中“图像”的本质

虽然我们叫它“图”，但其实这些图并不是普通的图片，而是信号能量在某个参数空间（距离、速度、角度等）上的分布图。

图像类型 横轴 纵轴 表示的物理量
RD 图（Range-Doppler） 距离 多普勒频率 目标的距离和速度分布
RA 图（Range-Azimuth） 距离 方位角 目标的空间分布
SAR 图（合成孔径雷达） 方位 距离 地面散射体分布

这些“图”都是由雷达信号经过傅里叶变换、匹配滤波、成像算法生成的功率谱。
所以这些“图”的分辨率来自系统带宽、天线孔径、采样率等物理限制。

超分辨在雷达成像中的作用

它不是简单“从小图放大成大图”，而是突破系统的物理分辨率极限，让图中的目标更清晰、更可分辨。

举例 1：距离–多普勒图

在常规处理下，两个距离或速度很接近的目标，可能在 RD 图上合成一个模糊峰。
通过超分辨算法（如 MUSIC、ESPRIT 或稀疏重建），我们可以：

  • 将原本一个模糊峰分解为两个清晰的峰；
  • 获得更细的目标谱结构；
  • 视觉上表现为 RD 图更清晰、更“锐利”。

🔹数值上是：频谱估计精度提高；
🔹视觉上看起来像“图像清晰化”。

举例 2：SAR / ISAR 成像

SAR 图像看起来确实像一张灰度图，但其像素代表的是散射强度，分辨率受限于带宽与孔径。

  • 普通SAR成像：受限于系统带宽（ΔR = c / 2B）；
  • 超分辨SAR成像：利用稀疏成像、CS-SAR等方法，用更少的采样恢复更高分辨率图像。

结果：

  • 同样的数据，图像更清晰，目标边缘更锐利；
  • 可以在有限带宽/采样下重建高分辨SAR图。

这时的超分辨确实表现为“图像变清晰”，但原理不同于“图像放大”，而是信号级的分辨率提升。

两类“超分辨”的区别（在雷达成像中）

类型 原理 输入 输出 视觉表现 是否真的是“小图 → 大图”
信号级超分辨 高分辨谱估计（MUSIC、OMP、CS） 原始阵列或频域信号 精确参数（角度/距离） 谱更锐利 ❌ 否
成像级超分辨 稀疏成像、CS-SAR、深度SR 初步成像结果（RD图、SAR图） 清晰的高分辨图像 图像更清晰 ✅ 近似是

换句话说：

  • 在雷达信号处理阶段，超分辨主要是提高分辨能力；
  • 在雷达成像阶段，超分辨也可以通过稀疏成像或深度学习改善图像视觉分辨率。

总结

雷达“超分辨”并不是简单地从“小图放大成大图”，而是：

  • 在信号层面，提高目标的分辨能力（角度、距离、速度）；
  • 在成像层面，通过稀疏重建或深度学习，使雷达图像更清晰、分辨率更高；
  • 二者结合，可以在有限硬件条件下获得高分辨雷达成像结果。